2020年8月19日，周三，下午有雨。
7.1 微分方程的基本概念
定义1。y、y'、x。未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程。相应的，未知函数是多元函数的微分方程，称为偏微分方程（本章不讨论）。
定义2。微分方程的阶。最高y'是一阶，最高y''的称二阶微分方程……。次数根阶数不要混淆。
微分方程找的是函数。未知函数是微分方程的解。
如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解，其中的任意常数必须是相互独立的，即不能合并而使任意常数的个数减少.——微分方程的通解《高等数学》
用于确定通解中任意常数的条件，称为初始条件。确定了通解中的任意常数以后，就得到微分方程的【特解】，即不含任意常数的解。
7.2 可分离变量的微分方程
一、定义。define-能写成以下形式的微分方程
g(y)dy=f(x)dx或【y'=φ(x)ψ(y)】
二、解法
1.分离变量；2.两端积分；3.对G(y)=F(x)+C进行适当整理.
记得加C。
【例1】
……
我觉得可以用其他科目来丰富一下学习体验了，不然太容易倦怠了。
……
导学篇.考研英语长线备考规划。有点傻玩意。前奏课。傻乎乎的。算了还是去看看考研政治吧。
考研政治72分备考规划。
英语。
……
还是数学好。
【例1】【例2】【例3】
……
7.3 齐次微分方程
一、dy/dx=φ(y/x)，y与x次数相同。
二、解法：
令u=y/x，y=ux，则dy/dx=u+xdu/dx，则方程转化为：u+xdu/dx=φ(u)
分离变量、两端积分、求出后再用y/x代替u。
【例1】【例2】【例3】
7.4 一阶线性微分方程
一、一阶齐次线性微分方程（First order homogeneous linear differential equation）
㈠定义definition
dy/dx+P(x)y=0【一阶齐次线性微分方程】
㈡解法及通解公式
dy/dx=-P(x)·y得dy/y=-P(x)dx
y=C·e^(-∫P(x)dx)
【例1】【例2】
二、一阶非齐次线性微分方程
㈠definition
dy/dx+P(x)y=Q(x)
㈡解法
常数变易法
y={∫Q(x)·e^(∫P(x)dx)dx+C}e^(-∫P(x)dx)
【例1】【例2】
7.5 可降阶的高阶微分方程
一、y(ⁿ)=f(x)型
二、y''=f(x，y')【缺y型】
令y'=p，则y''=p'，化为
p'=f(x，p)得p=φ(x，C₁)，即dy/dx=φ(x，C₁)
∴y=∫φ(x，C₁)dx+C₂.
【例1】【例2】
三、y''=f(y，y')【缺x型】
令y'=p，则y''=dp/dx=p·(dp/dy)，
原方程化为p·(dp/dy)=f(y，p)
通解：∫dy/φ(y，C₁)=x+C₂
【例1】
7.6 高阶线性微分方程
一、
1.n阶齐次线性微分方程
2.n阶非齐次线性微分方程
3.两个函数不成比例，线性无关
比为常数，线性相关。
二、齐次和非齐次线性微分方程解的结构
【1】Th1，若φ₁(x)、φ₂(x)是二阶【齐次】线性微分方程的两个解，则
y=C₁φ₁(x)+C₂φ₂(x)也是【齐次】方程的解，其中C₁、C₂为任意常数.
【2】Th2，若φ₁(x)是二阶【齐次】线性微分方程的解，φ₂(x)是二阶【非齐次】线性微分方程的解则
y=C₁φ₁(x)+C₂φ₂(x)也是二阶【非齐次】线性微分方程的解，其中C₁、C₂为任意常数.
【3】Th3，若φ₁(x)、φ₂(x)是二阶【非齐次】线性微分方程的解则
y=φ₂(x)-φ₁(x)是二阶【齐次】线性微分方程的解，其中C₁、C₂为任意常数.
对y''+a(x)y'+b(x)y=f(x)，记②
If，f(x)=f₁(x)+f₂(x)，则
y''+a(x)y'+b(x)y=f₁(x)，记②'
y''+a(x)y'+b(x)y=f₂(x)，记②''
【4】Th4，若φ₁(x)、φ₂(x)为②'、②''的解，则y=C₁φ₁(x)+C₂φ₂(x)为②的解.
【5】Th5，①若φ₁(x)、φ₂(x)是二阶【齐次】线性微分方程的两个【线性无关】解，则
y=C₁φ₁(x)+C₂φ₂(x)是【齐次】方程的【通解】，其中C₁、C₂为任意常数.
②若φ₁(x)、φ₂(x)是二阶【齐次】线性微分方程的两个【线性无关】解，φ₀(x)为二阶【非齐次】线性微分方程的一个特解，则
y=C₁φ₁(x)+C₂φ₂(x)+φ₀(x)是二阶【非齐次】线性微分方程的【通解】，其中C₁、C₂为任意常数.
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